라플라스(Laplace) 변환

라플라스 변환 왜 하는가??

 라플라스 변환 같은 경우는 제어공학에서 많이 사용하는 변환으로 알아두어야 할 필요가 있다. 그렇다면 이러한 변환을 하여서 얻는 이점은 무엇일까?? 그건 크게 두가지로 말할 수 있다. 

1. 선형 상 미분방정식을 대수 방정식으로 바꿀 수 있기 때문.

2. 주파수 응답 같은 경우 도해적으로 해석하는데 활용 가능하기 때문.

  위에 이유 때문에 라플라스의 변환을 한다. 예를 들면 보통 플랜트 해석을 시간 영역에서 해석 하기 어렵기 때문에 주파수 영역으로 가지고 와서 해석하는데 이때 필요한 변환이 라플라스 변환인 것이다.

라플라스 변환의 정의와 특징 

 라플라스 변환의 정의 같은 경우는    이거 이다. 이 방식으로 미분 방정식인 f(t) 를 대수 방정식인 F(s) 바꿔 준다 여기서 참고할 사항이 s 같은 경우는 저번 글에서 언급하였던 복소변수이다. 

 이러한 라플라스 변환의 특징은 선형성이다. 이게 어찌보면 가장 큰 특징일 수 있다. 선형성이라는건 어떻게 보면 1:1 대응이라고도 말할 수 있다. 그렇기 때문에 라플라스 변환했던걸 역변환 한다면 자기 자신이 나오고 이 자기자신이 나오는 변환은 유일한 것이다. 또한 연산자에서도 선형성을 가지는 특징이 있다. 그렇기에 이고,  의 성질을 가지게 된다. 

라플라스 변환(Laplace Transform) 의 예

 대표적인 라플라스 변환의 예를 살펴 보겠다 설명할려는 함수는 자주 쓰는 함수기 때문에 눈여겨 보는게 좋다. 증명도 필요하다고 말할 수 있지만 변환되는 형식만 적어놓겠다. 그 이유를 설명하자면 누가 자동차가 어떻게 굴러가는 전부 이해하고 자동차를 타고 다니겠는가? 자동차를 운전하는 법만 알면 되지 이와 마찬가지로 라플라스 변환도 쓰는 방법만 알고 쓸 수 있으면 된다고 생각한다. 그렇기에 증명의 과정은 적지 않겠다.

• 펄스함수

     그림과 같은 사각형 모양이 나오는 함수를 펄스 함수라고 하고 라플라스 변환에 대한 식은 오른쪽과 같이 나타난다. 

• 임펄스 함수

 임펄스 함수 같은 경우는 펄스 함수에서 를 거의 0으로 보내는 경우를 임펄스 함수라고 한다. 이때 사각형의 넓이는 A 이지만 가 거의 0이기 때문에 높이는 거의 무한대 까지 올라간다. 그리고 이 넓이 A가 1인 함수를 단위 임펄스 함수 또는 디렉 델타 함수라고 한다.

• 단위 계단 함수 
  

 

 단위 계단 함수 (unit step) 함수는 위의 모양처럼 계단 같은 모양으로 나오는 함수로 이때 높이가 1인 크기로 올라간 것을 단위 계단 함수라고 한다. 

• 램프 함수 

 위의 그림과 같은 함수를 램프 함수라고 하는데 보통 f(t) = t 인 그래프를 램프 함수라고 한다.

 

• 지수 함수 

위의 그림과 같이 다음과 같이 지수로 이루어진 함수로 위의 그림처럼 그려진다. 

• 사인 코사인 함수

 수학에서 자주 보이는 사인과 코사인에 대한 함수의 변환을 보여준다.  

• 이동 함수

이동함수는 말 그대로 함수를 평행 이동 시키는 함수로서 위의 그림을 참고한다면 어떤 느낌인지 알 수 있을 것이다.

• 미분과 적분

라플라스 역변환 

  라플라스 역변환의 수식은 위의 수식처럼 나온다. 하지만 위의 수식은 계산하기 어렵고 힘들다. 그러므로 다른 방식으로 라플라스 역변환 해야하는데 그 방식은 라플라스 변환의 특징을 이용하여서 역변환 해주는 방식이다. 그 특징은 라플라스 변환이 1:1 대응이라는 선형성을 갖는 특징이다. 이 특징을 가지고 역변환 하는 방법은 위에서 보여주었던 이미 정해져있는 라플라스 변환의 형식의 결과값으로 수식값을 변환해 주어서 라플라스 역변환을 해주는 것이다. 예로 들어보면 아래의 수식과 같다.

최종값 정리 

 최종값 정리는 함수의 극한값()을 알기 위해서 자주 쓰는 정리이다. 이 정리의 장점은 라플라스 변환한 수식값을 이용해서 라플라스 변환하기 전의 극한값을 라플라스 역변환의 필요없이 구할 수 있다는 것이다. 그 정리는 아래와 같다.

  하지만 이 정리 같은 경우는 사용할 수 있는 조건이 있는데 그 조건은 라플라스 변환이 성립해야 하고, 극한값이 존재할 때 즉 발산하지 않을 때 사용할 수 있다. 후에 이 수렴한다는 말을 sF(s)의 극점이 왼쪽 반 평면에 있을 때라고도 말하는데 어찌 보면 같은 말이기 때문에 넘어가겠다.