[쿼드콥터] 쿼드콥터 조립에 앞서서 기본 지식 <오일러각>

오일러 각 

오일러 각이란 강체가 놓인 방향을 3차원 공간에 표시하기 위해 레온하르트 오일러가 도입한 세 개의 각도이다. - 위키백과 

 즉 이 말을 쿼드콥터로 생각하고 표현하자면 쿼드콥터(강체)가 가지는 좌표계를 지구좌표계로 변환해 주기 위해서는 회전축이 다른 3번의 회전으로 표현할 수 있고, 이 때의 회전하는 회전각을 오일러 각이라고 생각하면 된다. 

 하지만 여기서 유의해야할 점은 오일러 각이 같아도 회전하는 순서를 달리하면 회전체가 나타내는 모양이 달라진다는 것이다.

예를 들어서 먼저 X축을 회전시키고 Y축을 회전시키고 Z축을 회전시킨 모양과 Y축을 회전시키고 Z축을 회전시키고 X축을 회전시킨 모양이 다르다 이 부분이 궁금하신 분은 근처의 물체를 가지고 실험해보시길 바란다. 

 보통 기체나 항공기의 자세는 Z축을 중심으로 회전(Yaw 각으로 회전) -> Y축을 중심으로 회전(Pitch 각으로 회전) -> X축을 중심으로 회전(Roll 각으로 회전) 순으로 회전한다. 

 이렇게 회전시키는 변환행렬을 쭈욱보면 

  : Yaw 각 변환 행렬  : Pitch 각 변환 행렬 : Roll각 변환 형렬  (E -> 지구좌표계 , B -> 기체좌표계)

그렇기에 지구좌표계(E)에서 기체좌표계(B)로 변환하는 변환행렬은  가 되게 된다. 즉 이걸 표현하면 

 

이 된다. 사실상 앞에 수식이 복잡하고 길다고 생각하면 마지막 수식만 봐도 무방하다. 이 마지막 수식의 특징이 있다면 어찌보면 당연한 이야기겠지만   와  는 역행렬 관계이다. 또한 전치행렬이 역행렬 관계이다. 

 하지만 이 오일러각의 문제점이 짐벌락 현상이 있습니다. https://www.youtube.com/watch?v=zc8b2Jo7mno 이 동영상에서 잘 설명해 놓았습니다. 동영상의 영상만 봐도 사실상 이해가 되겠지만 자세한 내용을 알고싶은데 동영상에서 말하는게 영어다 보니까 저와 같이 이해가 힘든 사람들을 위해 간략하게 설명하자면

 회전을 하다가 두번째 고리의 회전 때문에 첫번째 고리와 세번째 고리가 겹치는 상황이 생겨버리게 된다. 이럴 경우는 회전이 겹쳐져 버리기 때문에 한 회전 축의 자유도를 상실하기된다. 이 문제 때문에 생기는 현상이 짐벌락 현상이다.

 그렇기에 오일러 각의 범위를 줌으로써 짐벌락 현상을 피하는 것이다. 기체나 항공기의 자세에서는 Y(pitch) 축 때문에 짐벌락 현상이 일어날 수 있기 때문에 Y(pitch) 각도의 제한을 주게 된다. 

 이 짐벌락 현상을 극복하기 위해서 한 축에 대한 정보와 회전에 대한 정보를 알려줘서 4개의 변수를 가지는 쿼터니온이라는 것을 사용한다고 하지만 제가 이해를 못 하였기 때문에 그 부분은 적지 않겠다.